LPDJLQH D VHFUHW - UM FILME DE ARTE E MATEMÁTICA SOBRE CURVAS ELÍPTICAS E CRIPTOGRAFIA
14 de Abril | 15H00
por José Francisco Rodrigues, Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Os triplos pitagóricos, por exemplo (3, 4, 5) ou (4961, 6480, 8161), eram já bem conhecidos na antiga Babilónia, cerca de 1600 A.C., tal como a sua correspondência com o comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo e o problema de partir um número quadrado na soma de dois quadrados. Apesar desses triplos terem sido estudados em detalhe no tempo de Euclides (300 A.C.), foi apenas em meados do século XVII que Pierre de Fermat observou: "Nenhum cubo se pode partir em dois cubos, nem nenhum biquadrado em dois biquadrados, nem, em geral, nenhuma potência maior que a segunda em duas outras do mesmo tipo".
Esta afirmação tornou-se no famoso "Último Teorema de Fermat", estabelecendo que a equação AN BN = CN não tem soluções inteiras não nulas quando N é maior que 2, e apenas foi completamente demonstrada em 1994, cerca de três séculos e meio mais tarde, usando a teoria das curvas elípticas do século XX !
As curvas elípticas são curvas planas do tipo y2 = x3 a x b que possuem propriedades belas e profundas, bem estudadas desde o século XIX. A essa equação corresponde a equação homogénea de grau três y2 z= x3 a xz2 b z3, a qual descreve no espaço uma família de superfícies algébricas com dois parâmetros a e b. A variação computacional desses parâmetros nessas equações gera belas animações que estimulam a nossa imaginação e evocam a nossa criatividade matemática.
A criptografia trata de métodos seguros para transmitir e salvaguardar informação secreta e valiosa. Desde 1977 o sistema de chave pública RSA tem sido largamente usado e baseia-se na teoria dos números primos e na dificuldade de fatorização de números inteiros muito grandes. Com o impacto do método das curvas elípticas na fatorização de inteiros, os matemáticos inventaram em 1985 um sistema de encriptação por curvas elípticas, o ECC (Elliptic Curve Cryptography) e, desde então, a sofisticação matemática da criptografia foi elevada a um novo nível.
A segurança dos algoritmos ECC é baseada no problema do logaritmo discreto na teoria das curvas elípticas, o qual é atualmente um problema muito mais difícil da aritmética em corpos finitos. Avanços matemáticos recentes implicam que um certo nível de segurança desejada pode ser atingida com chaves significativamente menores, por exemplo, uma chave ECC de 160 bits fornece o mesmo nível de segurança que uma chave RSA de 1024 bits.
A teoria das curvas elípticas ilustra a beleza das interligações entre a teoria dos números, a álgebra e a geometria, além de que fornece um poderoso instrumento matemático para reforçar a segurança do comércio eletrónico e das comunicações digitais. O velho e inseguro método de César para cifrar mensagens no alfabeto latino, que corresponde à simples operação aritmética d = c - 3 (mod 26), está ultrapassado. Mas ainda nos dá a chave para decifrar o título deste filme...
MAIS INFORMAÇÕES
14H30 - Entrega da documentação aos participantes
A sessão decorre no anfiteatro do Laboratorio Chimico, um espaço histórico que remonta ao Séc. XVIII.
Entrada livre sujeita a inscrição prévia, por email, para geral@museudaciencia.org, com indicação do nome e contacto telefónico.
Os participantes receberão um diploma de participação.
Público alvo:professores de Matemática, alunos universitários de Matemática e alunos do Secundário com motivação para a Matemática
Esta sessão faz parte da iniciativa Chá das Três
PARCERIA
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